La mécanique du point modélise un corps par sa position dans un référentiel. On précise toujours le référentiel, le repère, les unités et les conditions initiales avant de calculer.
Définition 1 (Position, vitesse et accélération). Si $\vec r(t)$ désigne la position, la vitesse est $\vec v(t)=\vec r\,'(t)$ et l'accélération est $\vec a(t)=\vec v\,'(t)$. En coordonnées cartésiennes, on dérive chaque composante. Leurs unités sont respectivement le mètre, le mètre par seconde et le mètre par seconde carrée.
Exemple 2 (Mouvement rectiligne). Pour $x(t)=2+3t-t^2$ en mètres et $t$ en secondes, $v(t)=3-2t$ et $a(t)=-2$. Le mobile change de sens à $t=1{,}5$ s ; une vitesse nulle à un instant ne signifie pas une accélération nulle.
Exercice 3 (Une trajectoire plane). Dans un repère orthonormé, $\vec r(t)=(2t,t^2)$ pour $t\geq0$, en unités SI. Déterminer la trajectoire, la vitesse, l'accélération et la norme de la vitesse à $t=1$.
Indice
Élimine $t$ entre $x=2t$ et $y=t^2$, puis dérive les deux composantes.
Solution
De $t=x/2$, on obtient $y=x^2/4$ avec $x\geq0$ : la trajectoire est une demi-parabole. En dérivant, $\vec v(t)=(2,2t)$ m/s et $\vec a(t)=(0,2)$ m/s². À $t=1$, $\vec v(1)=(2,2)$ et $\|\vec v(1)\|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$ m/s. La norme est positive même si une composante de l'accélération est nulle.
Dynamique et énergie
Théorème 4 (Principe fondamental de la dynamique). Dans un référentiel galiléen, pour une masse constante $m$, la résultante des forces extérieures est $\sum\vec F=m\vec a$. Le poids près du sol est $m\vec g$. L'énergie cinétique vaut $E_c=\tfrac12m\|\vec v\|^2$ ; sa variation est égale au travail des forces appliquées.
Exercice 5 (Un lancer vertical). Un point de masse $0{,}2$ kg est lancé verticalement depuis $z(0)=0$ à $v_0=10$ m/s. On néglige l'air et on prend $g=10$ m/s², l'axe étant orienté vers le haut. Déterminer $z(t)$, le temps et la hauteur du sommet, puis la vitesse au retour au sol.
Indice
La seule force est le poids. Intègre $z''=-g$ deux fois en utilisant les conditions initiales.
Solution
La dynamique donne $mz''=-mg$, donc $z''=-10$. Les conditions initiales donnent $v(t)=10-10t$ puis $z(t)=10t-5t^2$. Le sommet correspond à $v=0$, soit $t=1$ s et $z=5$ m. Résoudre $z(t)=0$ donne $t=0$ et $t=2$ s ; au retour, $v(2)=-10$ m/s. Vérification énergétique : l'énergie initiale vaut $\tfrac12\times0{,}2\times10^2=10$ J, égale à $mgz=10$ J au sommet.
Vérifie ta compréhension. Un point suit un cercle à vitesse de norme constante. Son accélération est-elle nulle ?
Oui, car la vitesse est constante en norme
Non, la direction du vecteur vitesse varie
Oui, si le cercle est horizontal
Réponse
Bonne réponse : B.
Le vecteur vitesse change de direction : l'accélération est centripète, de norme $v^2/R$. Une norme constante ne suffit pas à rendre le vecteur constant.
Remarque 6 (Repères du parcours L1). Les modules transversaux regroupent plusieurs UE ; les durées proposées sont des repères de travail personnel.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Vitesse moyenne et vitesse instantanée). Un mobile se déplace sur un axe selon $x(t)=4t^2-2t+1$ (unités SI). Calculer sa vitesse instantanée, sa vitesse moyenne entre $t=0$ et $t=2$ s, et son accélération.
Indice
La vitesse moyenne vaut $\dfrac{x(2)-x(0)}{2-0}$ ; la vitesse instantanée est la dérivée de $x$.
Solution
$v(t)=8t-2$ m/s et $a=8$ m/s². $x(0)=1$ m et $x(2)=13$ m, donc la vitesse moyenne vaut $\dfrac{12}{2}=6$ m/s. C'est aussi la vitesse instantanée à $t=1$ s, milieu de l'intervalle, comme pour toute accélération constante.
Exercice 2 (Un mouvement circulaire uniforme). Un point parcourt un cercle de rayon $R=2$ m à la vitesse constante $v=4$ m/s. Calculer la norme de son accélération et la période du mouvement.
Indice
L'accélération est centripète, de norme $\dfrac{v^2}{R}$.
Solution
$a=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{16}{2}=8$ m/s², dirigée vers le centre. La période vaut $T=\dfrac{2\pi R}{v}=\pi\simeq3{,}14$ s. Une vitesse de norme constante n'empêche pas une accélération non nulle.
Exercice 3 (Poids sur la Terre et sur la Lune). Calculer le poids d'une personne de $60$ kg sur la Terre ($g=9{,}8$ m/s²), puis sur la Lune ($g=1{,}6$ m/s²). Sa masse change-t-elle ?
Indice
$P=mg$.
Solution
Sur la Terre, $P=60\times9{,}8=588$ N ; sur la Lune, $P=60\times1{,}6=96$ N. La masse reste $60$ kg : c'est le poids, une force, qui dépend du lieu.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Un plan incliné sans frottement). Un solide part du repos sur un plan incliné de $30^\circ$, sans frottement ($g=10$ m/s²). Calculer son accélération, sa vitesse après $10$ m parcourus et la durée correspondante.
Indice
Projette le principe fondamental sur l'axe de la pente : $a=g\sin\alpha$.
Solution
$a=10\times\sin30^\circ=5$ m/s². Avec $v^2=2ad$, $v=\sqrt{2\times5\times10}=10$ m/s, atteinte au bout de $t=\dfrac va=2$ s. La masse n'intervient pas.
Exercice 2 (Un tir parabolique). Un projectile est lancé depuis le sol à $v_0=20$ m/s, avec un angle de $45^\circ$ ($g=10$ m/s², sans frottement). Calculer la durée du vol, la portée et la hauteur maximale.
Indice
Les équations horaires sont $x=v_0\cos\alpha\,t$ et $z=v_0\sin\alpha\,t-\dfrac12gt^2$.
Solution
$z=0$ pour $t=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\simeq2{,}83$ s. La portée vaut $\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}=40$ m et la hauteur maximale $\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=10$ m. À vitesse initiale fixée, l'angle de $45^\circ$ donne la plus grande portée.
Exercice 3 (La conservation de l’énergie). Une bille est lâchée sans vitesse d'une hauteur de $5$ m ($g=10$ m/s², sans frottement). Quelle est sa vitesse en arrivant au sol ? Dépend-elle de sa masse ?
Indice
L'énergie mécanique $\dfrac12mv^2+mgz$ se conserve.
Solution
$mgh=\dfrac12mv^2$, donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{100}=10$ m/s. La masse se simplifie : sans frottement, tous les objets arrivent à la même vitesse.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (L’oscillateur masse-ressort). Une masse $m=0{,}5$ kg est fixée à un ressort de raideur $k=50$ N/m, sur un plan horizontal sans frottement. On l'écarte de $0{,}1$ m puis on la lâche sans vitesse. Établir l'équation du mouvement, la résoudre, puis calculer la période et la vitesse maximale.
Indice
Le principe fondamental donne $m\ddot x=-kx$ ; on pose $\omega=\sqrt{k/m}$.
Solution
$\ddot x+\omega^2x=0$ avec $\omega=\sqrt{50/0{,}5}=10$ rad/s. Avec les conditions initiales, $x(t)=0{,}1\cos(10t)$. La période vaut $T=\dfrac{2\pi}{\omega}\simeq0{,}63$ s et la vitesse maximale $0{,}1\times10=1$ m/s, atteinte au passage par l'équilibre.
Exercice 2 (Une chute freinée par l’air). Un objet de masse $m=0{,}1$ kg tombe avec une force de frottement $-k\vec v$, où $k=0{,}05$ kg/s ($g=10$ m/s²). Établir l'équation différentielle de la vitesse, la résoudre pour $v(0)=0$, puis donner la vitesse limite et le temps caractéristique.
Indice
L'équation est $m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv$, linéaire du premier ordre à second membre constant.
Solution
$\dfrac{dv}{dt}+\dfrac kmv=g$, donc $v(t)=v_\ell\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $v_\ell=\dfrac{mg}{k}=20$ m/s et $\tau=\dfrac mk=2$ s. Après $3\tau=6$ s, l'objet atteint environ $95\,\%$ de sa vitesse limite.
Exercice 3 (Un choc mou). Un chariot de $2$ kg roulant à $3$ m/s heurte un chariot de $1$ kg immobile ; ils restent accrochés. Calculer leur vitesse commune, puis l'énergie cinétique perdue.
Indice
La quantité de mouvement totale se conserve, mais pas l'énergie cinétique.
Solution
$2\times3=(2+1)\,v$, donc $v=2$ m/s. L'énergie cinétique passe de $\dfrac12\times2\times3^2=9$ J à $\dfrac12\times3\times2^2=6$ J : $3$ J sont dissipés en déformation et en chaleur.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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