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Bornes et convergence des suites
Définition 1 (Borne supérieure et limite). Un réel $M$ est un majorant de $A\subseteq\R$ si $x\le M$ pour tout $x\in A$. Si $A$ est non vide et majoré, sa borne supérieure $\sup A$ est le plus petit de ses majorants. Elle existe dans $\R$ et n'appartient pas nécessairement à $A$ : $\sup[0,1[=1$.
Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell\in\R$ si $$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|<\varepsilon.$$ Le rang $N$ peut dépendre de $\varepsilon$. Une suite est bornée si un réel $M\ge0$ vérifie $|u_n|\le M$ pour tout $n$.
Théorème 2 (Convergence monotone et encadrement). Toute suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de l'ensemble de ses termes. Toute suite décroissante et minorée converge également.
Le théorème d'encadrement affirme que, si $a_n\le u_n\le b_n$ à partir d'un certain rang et $a_n\to\ell$, $b_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$.
Preuve (Cas croissant et majoré)
Posons $\ell=\sup\{u_n:n\in\N\}$. Pour $\varepsilon>0$, $\ell-\varepsilon$ n'est pas un majorant : il existe donc $N$ tel que $u_N>\ell-\varepsilon$. Par croissance, pour $n\ge N$, $\ell-\varepsilon<u_N\le u_n\le\ell$. Ainsi $|u_n-\ell|<\varepsilon$, ce qui prouve la convergence.
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Exemple 3 (Une limite avec un rang explicite). Pour $u_n=(2n+1)/(n+1)$, on écrit $u_n=2-1/(n+1)$. Ainsi $|u_n-2|=1/(n+1)$. Pour tout $\varepsilon>0$, un entier $N>1/\varepsilon$ convient : si $n\ge N$, alors $|u_n-2|<\varepsilon$. La limite vaut donc $2$.
Exercice 4 (Une suite définie par récurrence). On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ pour $n\ge0$. Montrer que $1\le u_n\le2$, puis que $(u_n)$ est croissante. En déduire sa convergence et calculer sa limite.
Indice
L'intervalle $[1,2]$ est stable par $x\mapsto\sqrt{2+x}$. Pour la monotonie, cette fonction est croissante. Il faut établir la convergence avant de passer à la limite dans la récurrence.
Solution
Au rang $0$, $u_0=1\in[1,2]$. Si $1\le u_n\le2$, alors $3\le2+u_n\le4$, donc $1\le\sqrt3\le u_{n+1}\le2$. Par récurrence, tous les termes sont dans $[1,2]$.
On a $u_1=\sqrt3>u_0$. Si $u_{n+1}\ge u_n$, la croissance de la racine carrée donne $u_{n+2}=\sqrt{2+u_{n+1}}\ge\sqrt{2+u_n}=u_{n+1}$. La suite est donc croissante. Elle est majorée par $2$, donc converge vers un réel $\ell\in[1,2]$.
La fonction $x\mapsto\sqrt{2+x}$ est continue sur $[1,2]$, donc $\ell=\sqrt{2+\ell}$. On obtient $\ell^2-\ell-2=(\ell-2)(\ell+1)=0$. La condition $\ell\in[1,2]$ exclut $-1$ : $\ell=2$.
Dérivabilité et accroissements finis
Définition 5 (Dérivée en un point). Une fonction $f$, définie au voisinage de $a$, est dérivable en $a$ si $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$$ existe et est finie. Cela équivaut à $f(a+h)=f(a)+hf'(a)+o(h)$. Toute fonction dérivable en $a$ y est continue. La réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue mais non dérivable en $0$.
Théorème 6 (Rolle et théorème des accroissements finis). Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to\R$, continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.
- Si $f(a)=f(b)$, le théorème de Rolle donne un $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
- Dans le cas général, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.
En particulier, si $|f'|\le M$ sur un intervalle, alors $|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$ pour tous ses points $x,y$.
Exemple 7 (Encadrer un accroissement du logarithme). Pour $x>0$, appliquons le théorème des accroissements finis à $t\mapsto\ln t$ sur $[1,1+x]$. Il existe $c\in]1,1+x[$ tel que $\ln(1+x)=x/c$. Comme $1/(1+x)<1/c<1$, $$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x.$$
Exercice 8 (Dérivable sans dérivée continue). On définit $f(0)=0$ et, pour $x\ne0$, $f(x)=x^2\sin(1/x)$. Montrer que $f$ est continue et dérivable en $0$, calculer $f'(0)$ et $f'(x)$ pour $x\ne0$, puis montrer que $f'$ n'est pas continue en $0$.
Indice
Utilise $|\sin t|\le1$. Pour examiner $f'$ près de $0$, prends $x_n=1/(2\pi n)$ avec $n\ge1$.
Solution
Pour $x\ne0$, $|f(x)|\le x^2$, donc $f(x)\to0=f(0)$ : $f$ est continue en $0$. Le taux d'accroissement vaut $f(h)/h=h\sin(1/h)$ ; sa valeur absolue est au plus $|h|$, donc il tend vers $0$. Ainsi $f'(0)=0$.
Pour $x\ne0$, les règles du produit et de la composition donnent $$f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x).$$ Avec $x_n=1/(2\pi n)$, on a $x_n\to0$, $\sin(1/x_n)=0$ et $\cos(1/x_n)=1$, donc $f'(x_n)=-1$. Cette suite ne tend pas vers $f'(0)=0$ : $f'$ n'est pas continue en $0$. La dérivabilité seule n'impose donc pas la continuité de la dérivée.
Développements limités et formule de Taylor
Définition 9 (Petit o et développement limité). La notation $r(x)=o(x^n)$ lorsque $x\to0$ signifie $r(x)/x^n\to0$ pour $x\ne0$. Un développement limité à l'ordre $n$ écrit une fonction comme un polynôme plus un tel reste : $$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n).$$ Un développement limité décrit un comportement au voisinage du point ; il ne remplace pas la fonction par un polynôme sur tout son domaine.
Théorème 10 (Taylor-Young). Si $f$ est de classe $C^n$ au voisinage de $a$, alors, lorsque $h\to0$, $$f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n).$$ Par exemple, au voisinage de $0$ : $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$
Exemple 11 (Lever une indétermination). Pour calculer $\lim_{x\to0}(e^x-1-x)/x^2$, développons à l'ordre $2$ : $e^x-1-x=x^2/2+o(x^2)$. Après division par $x^2$, l'expression vaut $1/2+o(1)$, donc la limite est $1/2$. Il faut développer assez loin pour voir le premier terme qui ne s'annule pas.
Exercice 12 (Le premier terme non nul). Calculer $$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+x^2/2}{x^3}.$$ Préciser pourquoi l'expression est définie dans un voisinage épointé de $0$.
Indice
Le logarithme exige $x>-1$. Les termes d'ordres $1$ et $2$ s'annulent : utilise le développement à l'ordre $3$.
Solution
Pour $-1<x$ et $x\ne0$, le logarithme et le quotient sont définis. C'est notamment le cas pour $0<|x|<1/2$.
La fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ est de classe $C^3$ au voisinage de $0$. La formule de Taylor-Young donne $$\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$ Pour $x\ne0$, le quotient vaut donc $1/3+o(x^3)/x^3$. Par définition du petit $o$, le dernier terme tend vers $0$, y compris lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs négatives. La limite cherchée est $1/3$.
Vérifie ta compréhension. Quelle hypothèse permet d'affirmer qu'une suite croissante converge vers une limite réelle ?
- Elle est majorée
- Elle est minorée
- Tous ses termes sont positifs
Réponse
Bonne réponse : A.
Une suite croissante majorée converge par le théorème de convergence monotone. La positivité et la minoration seules ne suffisent pas : la suite $u_n=n$ est positive, croissante et divergente vers $+\infty$.