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Intégrale de Riemann et sommes
Définition 1 (Sommes de Darboux). Soit $f:[a,b]\to\R$ bornée et $P=(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b)$ une subdivision. Sur chaque intervalle $[x_{i-1},x_i]$, notons $m_i$ la borne inférieure de $f$ et $M_i$ sa borne supérieure. Les sommes de Darboux sont $$s(f,P)=\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1}),\qquad S(f,P)=\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1}).$$ La fonction est Riemann-intégrable si $\sup_P s(f,P)=\inf_P S(f,P)$. Cette valeur commune est $\int_a^b f(x)\,dx$.
Théorème 2 (Continuité et sommes de Riemann). Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est Riemann-intégrable. Pour une fonction Riemann-intégrable, les sommes $$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}),\qquad \xi_i\in[x_{i-1},x_i],$$ convergent vers $\int_a^b f(x)\,dx$ lorsque le pas $\max_i(x_i-x_{i-1})$ tend vers $0$. Le choix des points $\xi_i$ ne change pas cette limite.
Proposition 3 (Linéarité, ordre et relation de Chasles). Pour des fonctions intégrables et des réels $\alpha,\beta$, $$\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.$$ Si $f\le g$ sur $[a,b]$ avec $a\le b$, alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$, et $|\int_a^b f|\le\int_a^b|f|$.
Pour $a\le c\le b$, la relation de Chasles donne $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$. Par convention, $\int_b^a f=-\int_a^b f$ et $\int_a^a f=0$.
Exemple 4 (Aire algébrique). Pour $f(x)=x$ sur $[-1,1]$, l'intégrale vaut $0$ : les contributions négative et positive se compensent. L'aire géométrique entre la courbe et l'axe est $\int_{-1}^1|x|\,dx=1$. Avant d'interpréter une intégrale comme une aire positive, il faut donc examiner le signe de la fonction.
Exercice 5 (Une intégrale obtenue par une somme). Sans utiliser de primitive, calculer $\int_0^1 x^2\,dx$ en prenant la subdivision $x_k=k/n$ et les points droits $\xi_k=k/n$. On peut utiliser $\sum_{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$.
Indice
Chaque intervalle a pour longueur $1/n$. La somme de Riemann est donc $(1/n)\sum_{k=1}^n(k/n)^2$.
Solution
La fonction $x\mapsto x^2$ est continue sur $[0,1]$, donc les sommes de Riemann convergent vers son intégrale. Le pas de la subdivision vaut $1/n$ et tend vers $0$.
La somme construite à droite vaut $$R_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^2=\frac1{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$ $$=\frac16\left(1+\frac1n\right)\left(2+\frac1n\right).$$ Quand $n\to+\infty$, cette expression tend vers $2/6=1/3$. Par le théorème sur les sommes de Riemann, $\int_0^1 x^2\,dx=1/3$.
Primitives, changement de variable et intégration par parties
Définition 6 (Primitive sur un intervalle). Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : la notation $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ décrit cette famille.
Par exemple, $\int x^p\,dx=x^{p+1}/(p+1)+C$ pour $p\ne-1$ sur tout intervalle où cette expression est dérivable, et $\int dx/x=\ln|x|+C$ sur tout intervalle ne contenant pas $0$.
Théorème 7 (Théorème fondamental du calcul intégral). Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et $F'(x)=f(x)$ sur cet intervalle. Si $G$ est une primitive de $f$ sur un intervalle contenant $[a,b]$, alors $$\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a).$$
Proposition 8 (Deux méthodes de calcul). Si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[a,b]$, l'intégration par parties donne $$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.$$ Si $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et $f$ continue sur un intervalle contenant $\varphi([a,b])$, alors $$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)\,dt.$$ Les bornes doivent être transformées avec le changement de variable.
Exemple 9 (Reconnaître une dérivée composée). Pour $\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$, posons $t=x^2$. Le facteur $2x\,dx$ correspond à $dt$, et les bornes deviennent $0$ et $1$. On obtient $\int_0^1e^t\,dt=e-1$. On peut vérifier le résultat en dérivant la primitive $e^{x^2}$.
Exercice 10 (Choisir la bonne méthode). Calculer les deux intégrales suivantes en précisant la méthode employée : $$I=\int_0^1 xe^x\,dx,\qquad J=\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx.$$
Indice
Pour $I$, prends $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$. Pour $J$, la dérivée du dénominateur apparaît au numérateur : pose $t=1+x^2$.
Solution
Les deux fonctions intégrées sont continues sur $[0,1]$ ; le dénominateur de $J$ est strictement positif.
Pour $I$, l'intégration par parties avec $u=x$, $u'=1$, $v'=e^x$ et $v=e^x$ donne $$I=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1.$$ La primitive $(x-1)e^x$ fournit aussi une vérification par dérivation.
Pour $J$, posons $t=1+x^2$ : $dt=2x\,dx$, $x=0$ donne $t=1$ et $x=1$ donne $t=2$. Ainsi $$J=\int_1^2\frac{dt}{t}=[\ln t]_1^2=\ln2.$$ La primitive $\ln(1+x^2)$ est bien définie et sa dérivée vaut $2x/(1+x^2)$.
Fractions rationnelles et contrôle du résultat
Définition 11 (Décomposition en éléments simples). Une fraction rationnelle est un quotient de polynômes $P(x)/Q(x)$ défini pour $Q(x)\ne0$. Après une éventuelle division euclidienne et une factorisation du dénominateur, on cherche à la décomposer en fractions plus faciles à intégrer.
Pour deux réels distincts $a,b$, $$\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac1{a-b}\left(\frac1{x-a}-\frac1{x-b}\right).$$ Cette identité est valable là où les deux dénominateurs sont non nuls.
Exemple 12 (Identifier les coefficients). Pour $x\ne0,-1$, cherchons $A,B$ tels que $1/(x(x+1))=A/x+B/(x+1)$. En multipliant par $x(x+1)$, on obtient l'identité $1=A(x+1)+Bx$. Le terme constant donne $A=1$ et le coefficient de $x$ donne $A+B=0$, donc $B=-1$.
Sur tout intervalle évitant $-1$ et $0$, une primitive est donc $\ln|x|-\ln|x+1|$. Les valeurs absolues permettent de traiter les intervalles où les facteurs sont négatifs.
Remarque 13 (Vérifier un calcul). Vérifie le domaine et les bornes avant de calculer. Ensuite, dérive la primitive obtenue. Pour une intégrale définie, contrôle aussi le signe : une fonction positive sur un segment doit donner une intégrale positive. Si $m\le f\le M$ sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$.
Exercice 14 (Une fraction rationnelle sur un segment). Calculer $$K=\int_0^1\frac{dx}{x^2+3x+2}.$$ Donner ensuite un encadrement simple de $K$ à partir de la fonction intégrée.
Indice
Factorise $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, puis décompose en $A/(x+1)+B/(x+2)$. Sur $[0,1]$, le dénominateur varie de $2$ à $6$.
Solution
Sur $[0,1]$, $(x+1)(x+2)>0$, donc la fonction est continue. L'identité $$\frac1{(x+1)(x+2)}=\frac1{x+1}-\frac1{x+2}$$ se vérifie en mettant au même dénominateur. Une primitive sur $[0,1]$ est $F(x)=\ln(x+1)-\ln(x+2)$, et $$K=[\ln(x+1)-\ln(x+2)]_0^1$$ $$=(\ln2-\ln3)-(\ln1-\ln2)=\ln\left(\frac43\right).$$ Enfin, $2\le x^2+3x+2\le6$ sur $[0,1]$, donc $1/6\le1/(x^2+3x+2)\le1/2$. En intégrant sur un intervalle de longueur $1$, on obtient $1/6\le K\le1/2$, ce qui est cohérent avec le résultat positif trouvé.
Vérifie ta compréhension. Pour calculer $\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$ avec $t=x^2$, quelle intégrale obtient-on ?
- $\int_0^1\cos t\,dt$
- $\int_0^1 2t\cos t\,dt$
- $\int_0^1\cos(t^2)\,dt$
Réponse
Bonne réponse : A.
Le facteur $2x\,dx$ devient $dt$, l'argument $x^2$ devient $t$ et les bornes sont $0$ et $1$. L'intégrale vaut donc $\sin1$.