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Décrire une série : fréquences et position
Définition 1 (Population, caractère et fréquence). La population est l'ensemble des individus observés ; un caractère est la propriété étudiée. Un caractère peut être qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu. Pour une modalité ou une valeur $x_i$, l'effectif $n_i$ compte les observations correspondantes et sa fréquence est $f_i=n_i/N$, avec $N=\sum_i n_i$.
Pour une série numérique, la moyenne est $\bar x=\frac1N\sum_i n_ix_i$. Un mode est une valeur d'effectif maximal ; il peut y en avoir plusieurs. Les fréquences cumulées permettent de repérer la part des observations inférieures ou égales à une valeur.
Définition 2 (Médiane et quartiles : convention du cours). On range les $N$ observations : $x_{(1)}\le\cdots\le x_{(N)}$. La médiane est la valeur centrale pour $N$ impair ; pour $N$ pair, on prend ici la moyenne des deux valeurs centrales.
On adopte les quartiles $Q_1=x_{(\lceil N/4\rceil)}$ et $Q_3=x_{(\lceil3N/4\rceil)}$, où $\lceil r\rceil$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $r$. L'écart interquartile vaut $Q_3-Q_1$. D'autres conventions existent dans certains logiciels : il faut annoncer celle utilisée.
Exemple 3 (Une moyenne pondérée). Si dix étudiants obtiennent la note $8$ et cinq la note $14$, la moyenne des quinze notes est $$ \bar x=\frac{10\times8+5\times14}{15}=10. $$ Faire simplement $(8+14)/2=11$ donnerait le même poids à deux groupes de tailles différentes.
Exercice 4 (Lire une petite série ordonnée). On observe les six valeurs $1,2,2,3,4,6$. Donner les effectifs et fréquences de chaque valeur, puis calculer le mode, la moyenne, la médiane, les quartiles et l'écart interquartile avec les conventions du cours.
Indice
La valeur $2$ apparaît deux fois. Les valeurs centrales occupent les rangs $3$ et $4$ ; les rangs des quartiles sont $\lceil6/4\rceil$ et $\lceil18/4\rceil$.
Solution
Les valeurs distinctes sont $1,2,3,4,6$, d'effectifs respectifs $1,2,1,1,1$ et de fréquences respectives $1/6,1/3,1/6,1/6,1/6$. La somme des effectifs vaut $6$ et celle des fréquences vaut $1$.
Le mode est $2$, seul effectif maximal. La moyenne est $$ \bar x=\frac{1+2+2+3+4+6}{6}=\frac{18}{6}=3. $$ Comme $N=6$ est pair, la médiane vaut $(x_{(3)}+x_{(4)})/2=(2+3)/2=2{,}5$. Les rangs des quartiles sont $\lceil1{,}5\rceil=2$ et $\lceil4{,}5\rceil=5$. Donc $Q_1=x_{(2)}=2$, $Q_3=x_{(5)}=4$ et $Q_3-Q_1=2$.
Dispersion et données regroupées en classes
Définition 5 (Variance descriptive et écart-type). Pour une série numérique de taille $N$, la variance descriptive et l'écart-type sont $$ V=\frac1N\sum_i n_i(x_i-\bar x)^2=\frac1N\sum_i n_ix_i^2-\bar x^2,\qquad \sigma=\sqrt V. $$ Le diviseur utilisé ici est $N$ : on décrit les observations disponibles. La variance est exprimée dans le carré de l'unité initiale, l'écart-type dans la même unité que les données. Quand $\bar x>0$, le coefficient de variation $\sigma/\bar x$ mesure une dispersion relative.
Proposition 6 (Classes : estimations et histogrammes). Si seules des classes $[a_i,b_i[$ et leurs effectifs sont connus, on peut estimer la moyenne et la variance en remplaçant les données de chaque classe par son centre $c_i=(a_i+b_i)/2$. On perd l'information sur leur position réelle à l'intérieur des classes.
Pour un histogramme d'effectifs, la hauteur du rectangle de la classe $i$ est $n_i/(b_i-a_i)$ : son aire vaut alors $n_i$. Avec des classes de largeurs différentes, la hauteur seule ne représente donc pas l'effectif. Une médiane interpolée suppose une répartition uniforme dans la classe médiane.
Exercice 7 (Une série en classes de largeurs différentes). Vingt durées, en minutes, sont regroupées en classes $[0,10[$, $[10,20[$ et $[20,40[$ d'effectifs respectifs $4,8,8$. Estimer la moyenne, la variance et l'écart-type à partir des centres. Donner les hauteurs d'un histogramme d'effectifs, puis estimer la médiane par interpolation uniforme.
Indice
Les centres sont $5,15,30$, les largeurs $10,10,20$. Les effectifs cumulés sont $4,12,20$ : la médiane estimée se trouve dans la deuxième classe.
Solution
À partir des centres, la moyenne estimée vaut $$ \bar x_c=\frac{4\times5+8\times15+8\times30}{20}=\frac{380}{20}=19\text{ minutes}. $$ La moyenne des carrés des centres pondérés est $$ \frac{4\times25+8\times225+8\times900}{20}=\frac{9100}{20}=455. $$ La variance estimée est donc $V_c=455-19^2=94$ minutes carrées, et l'écart-type estimé est $\sigma_c=\sqrt{94}\approx9{,}70$ minutes.
Les hauteurs de l'histogramme d'effectifs sont $4/10=0{,}4$, $8/10=0{,}8$ et $8/20=0{,}4$ observation par minute. Leurs aires redonnent bien $4,8,8$.
Pour atteindre l'effectif cumulé $N/2=10$, on part de $4$ observations avant la classe $[10,20[$. Sous l'hypothèse uniforme, il faut parcourir $(10-4)/8=3/4$ de sa largeur : la médiane interpolée vaut $10+(3/4)\times10=17{,}5$ minutes. Ces résultats sont des estimations : les valeurs exactes des observations ne sont pas connues.
Deux variables : covariance et ajustement affine
Définition 8 (Covariance et corrélation linéaire). Pour $N$ couples numériques $(x_i,y_i)$, on pose $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=\frac1N\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\frac1N\sum_{i=1}^{N}x_iy_i-\bar x\bar y. $$ Si les variances $V_X$ et $V_Y$ sont strictement positives, le coefficient de corrélation linéaire est $$ r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V_XV_Y}},\qquad -1\le r\le1. $$ Un coefficient proche de $1$ ou de $-1$ signale un alignement approximatif. Une corrélation ne suffit pas à établir une relation de cause à effet, et une corrélation nulle n'exclut pas une relation non linéaire.
Théorème 9 (Droite des moindres carrés de Y en X). Si $V_X>0$, l'unique droite $y=ax+b$ minimisant la somme des carrés des écarts verticaux $\sum_i(y_i-ax_i-b)^2$ a pour coefficients $$ a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{V_X},\qquad b=\bar y-a\bar x. $$ Elle passe par le point moyen $(\bar x,\bar y)$. L'ajustement décrit une tendance dans la série ; une prévision en dehors des valeurs observées demande des hypothèses supplémentaires.
Exercice 10 (Calculer un ajustement affine). On observe les trois couples $(1,2)$, $(2,3)$ et $(3,7)$. Calculer les deux moyennes, les variances descriptives, la covariance, le coefficient de corrélation et la droite des moindres carrés de $Y$ en $X$.
Indice
Les moyennes sont $\bar x=2$ et $\bar y=4$. Les couples centrés sont donc $(-1,-2)$, $(0,-1)$ et $(1,3)$.
Solution
On obtient $\bar x=(1+2+3)/3=2$ et $\bar y=(2+3+7)/3=4$. Les écarts aux moyennes donnent $$ V_X=\frac{1+0+1}{3}=\frac23,\qquad V_Y=\frac{4+1+9}{3}=\frac{14}{3}, $$ $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{(-1)(-2)+0(-1)+1\times3}{3}=\frac53. $$ Les deux variances sont positives. Le coefficient de corrélation est donc $$ r=\frac{5/3}{\sqrt{(2/3)(14/3)}}=\frac5{\sqrt{28}}\approx0{,}945. $$ La pente de la droite de régression est $a=(5/3)/(2/3)=5/2$, puis $b=4-(5/2)\times2=-1$. La droite cherchée est $\boxed{y=\frac52x-1}$.
Elle passe bien par $(2,4)$. Les valeurs ajustées pour $x=1,2,3$ sont $1{,}5,4,6{,}5$, donc les résidus sont $0{,}5,-1,0{,}5$ et leur somme vaut $0$, comme attendu pour cet ajustement avec constante.
Vérifie ta compréhension. On ajoute $5$ à toutes les observations d'une série numérique. Que deviennent sa moyenne et sa variance descriptive ?
- La moyenne augmente de $5$ et la variance reste identique.
- La moyenne et la variance augmentent toutes deux de $5$.
- La moyenne augmente de $5$ et la variance est multipliée par $25$.
Réponse
Bonne réponse : A.
La nouvelle moyenne est $\bar x+5$. Chaque écart centré reste identique : $(x_i+5)-(\bar x+5)=x_i-\bar x$. Les carrés de ces écarts, et donc la variance, sont inchangés.