Ce module rassemble les enseignements transversaux du premier semestre de la maquette fournie : économie générale, outils bureautiques, techniques d’expression et méthodologie du travail scientifique, anglais et UE de découverte biologique.
Expression et méthodologie du travail scientifique
Définition 1 (Rédiger un raisonnement vérifiable). Une réponse scientifique explicite les hypothèses, les objets étudiés, les étapes de justification et la conclusion. Une observation suggère une conjecture ; une démonstration établit une propriété sous des hypothèses précises. Les sources et les données utilisées doivent être indiquées.
Exercice 2 (Distinguer exemple et démonstration). Un étudiant écrit : « $1+3=4$ et $1+3+5=9$, donc la somme des $n$ premiers entiers impairs vaut $n^2$. » Identifier ce qui manque et proposer une rédaction correcte.
Indice
Les exemples ne traitent pas tous les entiers. Utilise une récurrence sur $n$.
Solution
Les deux calculs vérifient seulement deux cas particuliers. Posons $P(n):1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$, pour $n\geq1$. Initialisation : pour $n=1$, la somme vaut $1=1^2$. Hérédité : si $P(n)$ est vraie, ajouter l'impair suivant donne $n^2+(2n+1)=(n+1)^2$, donc $P(n+1)$. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq1$.
Outils bureautiques et économie générale
Définition 3 (Feuille de calcul et variation relative). Dans un tableur, une référence relative comme A2 se déplace lors d'une recopie ; une référence absolue comme $\text{\$B\$1}$ reste fixe. Pour comparer deux valeurs positives $V_0$ et $V_1$, le taux de variation est $(V_1-V_0)/V_0$. Des variations successives se composent en multipliant leurs coefficients.
Exercice 4 (Construire une formule de tableur). Les prix unitaires sont dans A2:A4, les quantités dans B2:B4 et le taux de taxe dans E1. Écrire en C2 une formule de montant hors taxe, puis en D2 une formule de montant taxe comprise, toutes deux recopiables vers le bas. Calculer les montants pour un prix de 2 000, une quantité de 3 et un taux de 0,18.
Indice
La cellule contenant le taux doit rester E1 lors de la recopie.
Solution
En C2, saisir \(\texttt{=A2*B2}\). En D2, saisir \(\texttt{=C2*(1+\$E\$1)}\). Après recopie, A2 et B2 deviennent A3 et B3, mais \(\texttt{\$E\$1}\) reste fixe. Pour les données proposées, le montant hors taxe vaut $2000\times3=6000$ ; le montant taxe comprise vaut $6000\times1{,}18=7080$. La taxe de l'exemple vaut $1080$ ; son taux est une donnée de l'exercice.
Exercice 5 (Deux évolutions successives). Dans un exemple économique, un indice passe de $100$ à une valeur augmentée de $20\,\%$, puis diminue de $20\,\%$. Calculer sa valeur finale et le taux de variation global.
Indice
La deuxième variation s'applique à la nouvelle valeur, et non à $100$.
Solution
Après la hausse, l'indice vaut $100\times1{,}20=120$. Après la baisse, il vaut $120\times0{,}80=96$. Le coefficient global est $1{,}20\times0{,}80=0{,}96$ ; le taux global est donc $-4\,\%$. Ajouter directement $+20\,\%$ et $-20\,\%$ aurait ignoré le changement de base.
Anglais scientifique et découverte biologique
Exemple 6 (Décrire un résultat en anglais). « The sequence converges to zero » signifie « La suite converge vers zéro ». « Let n be a positive integer » introduit une hypothèse : « Soit n un entier strictement positif ». On distingue les verbes define, assume et prove : définir, supposer et démontrer.
Exercice 7 (Traduire une hypothèse et une conclusion). Traduire en anglais : « Soit f une fonction continue sur [0,1]. Nous montrons que f est bornée. » Identifier l’hypothèse et la conclusion.
Indice
Commence par « Let f be… » puis « We prove that… ».
Solution
Une traduction est : « Let f be a continuous function on [0,1]. We prove that f is bounded. » L’hypothèse est la continuité sur le segment [0,1] ; la conclusion annoncée est que f est bornée. La traduction annonce la preuve, elle ne la remplace pas : on utilise ensuite le théorème des bornes atteintes.
Exercice 8 (Un modèle simple de divisions cellulaires). Dans un modèle idéal, une cellule donne deux cellules à chaque génération, sans perte. On part de $3$ cellules. Écrire une récurrence pour l'effectif $N_k$, donner sa formule explicite et calculer $N_5$. Préciser une limite du modèle.
Indice
Le nombre de cellules est multiplié par $2$ à chaque génération.
Solution
$N_0=3$ et $N_{k+1}=2N_k$. La suite est géométrique, donc $N_k=3\times2^k$ et $N_5=3\times32=96$. Ce modèle suppose des divisions simultanées, sans mort cellulaire ni limite de ressources ; il ne décrit donc pas indéfiniment une population réelle.
Vérifie ta compréhension. Quelle démarche établit une affirmation valable pour tous les entiers naturels ?
Vérifier trois exemples
Donner une démonstration générale, par exemple une récurrence complète
Tracer seulement un graphique
Réponse
Bonne réponse : B.
Les exemples et graphiques peuvent suggérer une conjecture. Une démonstration traite l’ensemble des cas annoncés.
Remarque 9 (Repères du parcours L1). Les modules transversaux regroupent plusieurs UE ; les durées proposées sont des repères de travail personnel.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Hypothèse, conclusion, réciproque). Dans l'énoncé « Si une suite réelle converge, alors elle est bornée », identifier l'hypothèse et la conclusion. Écrire la réciproque. Est-elle vraie ?
Indice
La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion. Pense à une suite qui oscille.
Solution
Hypothèse : la suite converge. Conclusion : elle est bornée. Réciproque : « Si une suite est bornée, alors elle converge ». Elle est fausse : $u_n=(-1)^n$ est bornée mais ne converge pas. Un énoncé vrai peut avoir une réciproque fausse.
Exercice 2 (Deux formules de tableur). Trente notes sont dans les cellules B2 à B31. Écrire une formule qui calcule leur moyenne, puis une formule qui compte les notes supérieures ou égales à $10$ (tableur en français).
Indice
Les fonctions s'appellent MOYENNE et NB.SI ; le critère s'écrit entre guillemets.
Solution
Moyenne : \(\texttt{=MOYENNE(B2:B31)}\). Nombre de notes au moins égales à $10$ : \(\texttt{=NB.SI(B2:B31;">=10")}\). Dans un tableur en anglais, on écrirait AVERAGE et COUNTIF, avec une virgule comme séparateur.
Exercice 3 (Une variation relative). Le prix d'un ticket passe de $500$ à $650$ FCFA. Calculer le taux de variation et le coefficient multiplicateur.
Indice
Le taux vaut $\dfrac{V_1-V_0}{V_0}$.
Solution
$\dfrac{650-500}{500}=0{,}3$ : hausse de $30\,\%$. Le coefficient multiplicateur vaut $1{,}3$, puisque $500\times1{,}3=650$.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Rédiger une preuve courte). Démontrer, en rédigeant avec soin, que la somme de deux entiers impairs est paire.
Indice
Commence par « Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs » et traduis « impair » par une égalité.
Solution
Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs. Il existe des entiers $k$ et $\ell$ tels que $a=2k+1$ et $b=2\ell+1$. Alors $a+b=2(k+\ell+1)$, où $k+\ell+1$ est un entier. Donc $a+b$ est pair. Chaque phrase introduit ses objets, justifie son passage et annonce sa conclusion.
Exercice 2 (Un taux moyen). Une production augmente de $21\,\%$ en deux ans. Quel taux annuel constant aurait conduit au même résultat ? Pourquoi n'est-ce pas $10{,}5\,\%$ ?
Indice
Cherche $t$ tel que $(1+t)^2=1{,}21$.
Solution
$(1+t)^2=1{,}21$ donne $1+t=1{,}1$, soit $t=10\,\%$ par an. Deux hausses de $10{,}5\,\%$ donneraient $1{,}105^2\simeq1{,}221$, soit $22{,}1\,\%$ : les taux se composent par multiplication, pas par addition.
Exercice 3 (De l’anglais mathématique au français). Traduire : « For every real number x, there exists an integer n such that n > x. Let f be a differentiable function and assume that f' is positive. Hence f is increasing. » Repérer les mots qui structurent le raisonnement.
Indice
« Let » introduit un objet, « assume » une hypothèse, « hence » une conclusion.
Solution
« Pour tout réel $x$, il existe un entier $n$ tel que $n>x$. Soit $f$ une fonction dérivable, et supposons que $f'$ soit positive. Donc $f$ est croissante. » Les mots de structure sont for every (pour tout), there exists (il existe), such that (tel que), let (soit), assume (supposons) et hence (donc).
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Trouver l’erreur d’une récurrence). « Preuve » que tous les chevaux ont la même couleur : un cheval seul a sa couleur. Si tout groupe de $n$ chevaux est unicolore, dans un groupe de $n+1$ chevaux, les $n$ premiers sont de même couleur, les $n$ derniers aussi, et ces deux groupes ont des chevaux en commun. Où est l'erreur ?
Indice
Teste le passage de $n=1$ à $n=2$.
Solution
Pour $n+1=2$, les « $n$ premiers » et les « $n$ derniers » sont deux chevaux distincts : les deux groupes n'ont aucun cheval en commun. L'hérédité est fausse précisément pour $n=1$, donc la chaîne se brise dès le début. Une hérédité doit être valable pour tout $n$ à partir du rang initial.
Exercice 2 (Des bactéries qui doublent). Une population de bactéries double toutes les $20$ minutes. On part de $100$ bactéries. Combien y en a-t-il après $3$ heures ? Au bout de combien de temps dépasse-t-on un million ?
Indice
Après $k$ doublements, il y a $100\times2^k$ bactéries.
Solution
$3$ heures représentent $9$ doublements : $100\times2^9=51\,200$ bactéries. Il faut $2^k\ge10^4$ ; or $2^{13}=8\,192$ et $2^{14}=16\,384$, donc $k=14$ doublements, soit $280$ minutes ($4$ h $40$ min). Ce modèle idéal ignore la limitation des ressources.
Exercice 3 (Des intérêts composés au tableur). Un capital de $100\,000$ FCFA est placé à $5\,\%$ par an, avec intérêts composés. Le capital initial est en B2. Quelle formule écrire en B3, à recopier vers le bas, pour obtenir le capital année après année ? Calculer le capital après $3$ ans.
Indice
Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}05$.
Solution
En B3 : \(\texttt{=B2*1,05}\), recopiée vers le bas. Après $3$ ans : $100\,000\times1{,}05^3=115\,762{,}5$ FCFA. Des intérêts simples ne donneraient que $115\,000$ FCFA : l'écart vient des intérêts produits par les intérêts.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
Mathventure